Teoria de conjuntos

Neste vídeo apresentamos uma abordagem bastante natural para responder o que são conjuntos e quais existem. Apresentamos também o paradoxo de Russell e o porquê da abordagem proposta falhar para, em seguida, defender a abordagem axiomática e estabelecer os objetivos desta série.

Neste vídeo apresentamos o axioma do conjunto vazio, o axioma da extensionalidade, e apresentamos algumas consequências imediatas desses axiomas.  

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Neste vídeo, apresentamos o Axioma da Separação e justificamos o porquê deste axioma "bloquear" o paradoxo de Russell, além de aplicar o a separação para as propriedades "x é igual a x" e "x é diferente de x". Por fim, neste vídeo também revisamos brevemente os axiomas apresentados nessa série. 

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Neste vídeo, apresentamos o Axioma do Par e discutimos como obter infinitos conjuntos a partir deste axioma e do axioma do vazio. Em seguida, apresentamos o Axioma da União e explicamos como, a partir dos conjuntos dados pelo par e vazio, obter conjuntos cada vez maiores, isto é, com mais elementos.

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Neste vídeo apresentamos, após breve recapitulação dos axiomas já vistos, o Axioma das Partes - também conhecido como Axioma da Potência - e resolvemos uma série de exemplos. Por fim, relacionamos o número de elementos em um conjunto com o número de elementos no conjunto das partes. 

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Neste vídeo retomamos as noções de relação, função e par ordenado vistas no colégio para, motivados por elas, apresentar a definição de função em teoria de conjuntos.

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Neste vídeo discutimos a noção de número natural e respondemos a perguntas sobre a natureza e existência de números naturais. Para isso, internalizamos os números naturais na teoria de conjuntos e discutimos o axioma do infinito.

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Neste vídeo apresentamos uma motivação para o teorema da recursão nos naturais para, em seguida, emprega-lo nas definições de soma de dois números naturais e produto de números naturais. Em seguida, argumentos o porquê dessa formalização ser aceitável.

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Neste vídeo definimos quando um conjunto é finito e quando é infinito. Para isso, discutimos a importante ideia de "comparar sem contar" para em seguida estabelecer uma série de propriedades dos conjuntos finitos e demonstrar que o conjunto de todos os números naturais é, como esperado, infinito

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Neste vídeo definimos a relação de ordem dos números naturais e argumentamos que esta definição conjuntista possui as propriedades esperadas. Com isso concluímos a formalização dos números naturais em teoria de conjuntos e argumentamos como formalizar, em teoria de conjuntos, outras noções informais do discurso matemático. No final do vídeo demonstramos, por indução, que a relação de ordem é transitiva e bem fundada (regular).

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Neste vídeo começamos a discutir o conceito de cardinal de um conjunto e, por ora, tratamos essa noção apenas de um modo informal, entendendo o cardinal de um conjunto como uma expressão do tamanho do conjunto. Apresentamos critérios de comparação de cardinais, definimos cardinal de um conjunto finito e iniciamos a discussão a respeito do cardinal de conjuntos infinitos.

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Neste vídeo apresentamos elementos de aritmética cardinal e discutimos algumas razões segundo as quais não é simples definir a noção "cardinal de um conjunto" quando o conjunto é infinito. Por fim, apresentamos uma série de propriedades das operações aritméticas entre cardinal e fornecemos um argumento para uma dessas propriedades.

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